Vienalaikės ir kvadratinės lygtys

Tęsinys iš:Algebros įvadas

Mūsų puslapisAlgebros įvadaspaaiškina, kaip išspręsti paprastas lygtis su pagrindine algebra.

Šiame puslapyje aptariamos sudėtingesnės lygtys, įskaitant tas, kurios susijusios su trupmenomis, ir dvi konkrečios problemos, su kuriomis galite susidurti: lygiavertės lygtys ir kvadratinės lygtys.

Svarbiausia, kad aišku, kad šios lygtys, kaip ir kitos, atitinka taisykles ir kad vis tiek jomis galite manipuliuoti, jei tik atsimenate tą patį dalyką daryti abiem lygties pusėms.

Skliausteliuose Algebra

Algebrinėse lygtyse dažnai susiduriate su skliausteliuose (skliausteliuose) esančiais terminais. Norint išspręsti lygtį, gali tektiplėstisskliausteliuose. Tai reiškia, kad turime išnagrinėti išraišką ir pašalinti skliaustus logiškai, pagal kai kurias taisykles.

Jei jūsų lygtyje yra tik vienas skliaustų rinkinys, procesas yra paprastas. Pavyzdžiui:

4 USD (x - 2) = 18 USD

Šiuo atveju viskas skliausteliuose kairėje lygties pusėje padauginama iš 4. Pirmiausia išplėskite skliaustus pagal terminą:

$ 4x - 8 = 18 $$

Dabar galite išspręsti (x ) lygtį. Tada pridėkite po 8 kiekvienoje pusėje:

$ 4x = 26 $$

Galiausiai padalykite kiekvieną pusę iš 4:

$$ x = 6.5 $$

Jei jūsų lygtyje yra du skliaustų rinkiniai (ar daugiau), kuriuos reikia padauginti, procesas yra sudėtingesnis, tačiau laikomasi logiško taisyklių rinkinio.

Pvz., Išplėskite išraišką:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$

Kairėje lygties pusėje turime padauginti (2 (x ) + 5) iš ( (x ) + 4). Kiekviename skliaustų rinkinyje yra daugiau nei vienas terminas. Tai nėra paprasčiausias skliaustų rinkinio padauginimas iš akoeficientas, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, kur visą skliaustą padauginote iš 4.

Tokiu atveju turite padauginti kiekvieną pirmojo skliausto terminą iš kiekvieno antrojo skliausto termino ir sudėti juos visus kartu, tai yra padauginti (x ) iš (x ), (x ) iš 4 , tada (x ) - 5, tada 4 - 5. Tai atrodo gana sudėtinga, todėl galite naudoti metodą, vadinamą„FOIL“padėti.

FOIL reiškiaFirstARBAgimdaAšvyraiLast.

PIRMA: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )^du

IŠORĖ: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

VIDAUS: 5 × (x ) = 5 (x )

PASKUTINĖ: 5 × 4 = 20

Kitas žingsnis yra pridėti juos kartu:

2 (x )^du+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 yra tas pats, kas 2 (x )^du+ 13 (x ) + 20.

Taigi pradinė lygtis (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 tampa:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Šio tipo lygtis yra žinoma kaip akvadratinė lygtis. Žemiau apie tai yra daugiau.

Lygtys su trupmenomis

Lygtys su trupmenomis atrodo šiek tiek bauginančios, tačiau yra paprastas triukas, kad jas būtų lengviau išspręsti.

Kryžminis dauginimasreiškia frakcijų pašalinimą, savo ruožtu padauginant abi puses iš kiekvieno vardiklio. Daugiau informacijos apie darbą su trupmenomis rasite mūsų puslapyjeTrupmenos.

Dirbtas pavyzdys

---

$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Norėdami pašalinti trupmenas, padauginkite abi lygties puses iš kiekvieno vardiklio (3 ir 5) paeiliui.
Pradėkite padauginę abi puses iš 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Kairėje du 3 atšaukiami, paliekant 2 + (x ).
Dešinėje išskleiskite skaitiklio skliaustus, kad būtų 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Dabar padauginkite abi puses iš 5. Vėlgi, du 5 atšauks dešinėje, ir jūs galų gale:

$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Pertvarkykite lygtį taip, kad kairėje būtų terminai, kuriuose yra (x ), o dešinėje - tik skaičius turintys terminai. Pirmiausia iš kiekvienos pusės atimkite 10:

$ 5x = 17 + 3x $$

Tada iš kiekvienos pusės atimkite 3 (x ), kad gautumėte visas (x ) reikšmes kairėje, ir galų gale:

$ 2x = 17 $$

Galiausiai, padalijus abi puses iš 2, gaunama (x ) reikšmė:

$$ x = 8.5 $$

Atminkite, kad (x ) ne visada turi būti sveikas skaičius.

---

Vienalaikės lygtys

Iki šiol visuose pavyzdžiuose buvo tik vienas „nežinomas“ kintamasis (x ). Mes galime išspręsti šias lygtis naudodami algebrą, kad rastume (x ) reikšmę. Jei turite vieną nežinomą, jums reikia tik vienos lygties išspręsti, kad gautumėte atsakymą.

Tačiau kas atsitiks, jei turite lygtį, pvz., (Y ) = 4 (x ) + 5, kur yradu nežinomieji, (x ) ir (y )?

Jūs netgi galite susidurti su sudėtingesne lygtimi, kurioje turite tris nežinomus elementus: (x ), (y ) ir (z ).

Norėdami juos išspręsti, taisyklė yra ta, kad jums reikia tiek pat lygčių, kiek turite nežinomų. Visos lygtys turi būti teisingos visiems nežinomiems. Tai reiškia, kad jums reikia dviejų lygčių dviem nežinomiems, trijų lygčių trims nežinomiems ir pan.

Vienalaikės lygtys yra dviejų lygčių rinkinys, į kurį įtraukiami tie patys nežinomi kintamieji, kurie abu yra teisingi. Jie vadinamivienu metunes jie sprendžiami kartu.

Vienalaikės lygtys kartais nurodomos ilgu garbanotu skliaustu, kad jas būtų galima susieti.

Vienalaikių lygčių su kintamaisiais (x ) ir (y ) sprendimo būdas yra toks:

• Pirmiausia pertvarkykite vieną lygtį, kad gautumėte išraišką arba reikšmę (x ). Pertvarkyta lygtis gali būti (x ) = skaičius, arba tai gali būti išraiška, kur (x ) = (y ) funkcija (ty (y ) vis dar egzistuoja kaip nežinoma lygtyje ). Tai galite pamatyti parašę (x ) = ƒ ( (y )), o tai tiesiog reiškia, kad „ (x ) yra (y ) funkcija“.

• Turėdami reikšmę arba išraišką (x ), galėsite ją pakeisti kita lygtimi, kad rastumėte (y ) reikšmę. Ši nauja lygtis turės tik vieną nežinomą, (y ).

• Galiausiai, jei jūsų atsakymas (x ) =? nuo 1 veiksmo yra „ (y )“, tada galite pakeisti savo (2) žingsnio reikšmę (y ) į savo išraišką (x ), norėdami rasti ).

Veikė 1 pavyzdys: kai x gali būti išspręsta kaip reikšmė 1 veiksme.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Jei 2 (x ) = 6, tada ( boldsymbol {x} ) = 3.

Antrojoje lygtyje pakeitę (x ) 3, galite ją išspręsti, kad sužinotumėte, kas yra (y ).

$$ y = (4 kartus 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$

---

Veikė 2 pavyzdys: kai 1 veiksmas pateikia (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 pabaiga {eqnarray} $$

1 žingsnis: Jei (x ) & minusas; (y ) = 1, tada (x ) = 1 + (y )

2 žingsnis: Pakeitus tai į antrąją lygtį, gaunama 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Išplėtus skliaustus, gaunama 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Tada 2 + 5 (y ) = 27

Taigi 5 (y ) = 25, suteikiant sprendimą ( boldsymbol {y} ) = 5.

3 žingsnis: Mes žinome, kad (x ) - (y ) = 1, todėl ( boldsymbol {x} ) = 6.

---

Kvadratinės lygtys

Lygtis, kurios forma yra (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), vadinama akvadratinė lygtis.

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) ir ( boldsymbol {c} ) yra visi skaičiai, ir bet kurioje pateiktoje lygtyje jie gali būti vienodi arba skirtingi. Jie taip pat gali būti neigiami arba teigiami.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai:

1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). Šioje lygtyje (a ) = 2, (b ) = 5 ir (c ) = 10.

2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). Šioje lygtyje (a ) = 3, (b ) = -3 ir (c ) = 9.

3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). Šioje lygtyje (a ) = 52, (b ) = 1 ir (c ) = & minus; 45.

Parabolinės kreivės ir kvadratinės lygtys

---

Kvadratinės lygtys yra labai svarbios matematikoje ir moksle. Jie yra parabolinės kreivės (parabolės) matematinis „aprašymas“. Norėdami sužinoti daugiau apie paraboles ir kitas išlenktas formas, žinomas kaip kūginės dalys, žrapskritimai, elipsės, parabolės ir hiperbolos. (A ), (b ) ir (c ) reikšmės kvadratinėje lygtyje apibūdina kreivės formą ir vietą, kurioje ji išdėstyta Dekarto koordinačių rinkinyje (x ir y ašys). Norėdami sužinoti daugiau, žiūrėkite mūsų puslapįDekarto koordinatės.

Parabolė, nubrėžta iš kvadratinės lygties, kur (a ) = 1, (b ) = −4 ir (c ) = 5, atrodo taip:

Yra keletas skirtingų būdų, kaip išspręsti šias lygtis:

1. Faktorizuodamas

Matematikojefaktoriaiyra dalykai, kurie dauginami kartu. Faktorizacija yra procesas, naudojamas kuriant dufaktoriaiiš kvadratinės išraiškos, kurią galima padauginti kartu. Šie veiksniai yra skliaustų rinkiniai su paprasta tiesine išraiška, kurioje kiekvienoje yra (x ).

Padarysite kvadratinę lygtį, daugindami dvi skliaustuose esančias išraiškas ( (x ) + skaičius) ( (x ) + kitas skaičius). Tai reiškia, kad kiekvienaskad turi sprendimągali būti parašyta šia dviejų skliaustų forma.

Tai yra priešinga aukščiau aprašytam skliaustų išplėtimo FOIL metodui. Išplėtus du laikiklių rinkinius, padaugintus kartu, gaunama:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Tai reiškia, kad kai turite lygtį formoje (x ^ 2 + bx + c ), jūs ieškote dviejų skaičių, kad juos padauginus gautumėte (c ), o kai jie bus pridėti, gausite (b ). Paprastai matysite iš karto, jei jie yra sveiki skaičiai.

Tik paprasčiausias kvadratines lygtis galima lengvai apskaičiuoti. Jei po poros minučių nepavyko išspręsti faktorizavimo, geriausia išbandyti kitą metodą.

Dirbtas pavyzdys

---

$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Jūs žinote, kad 4 × 5 = 20 ir 4 + 5 = 9.

Todėl du skliaustai yra ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Ši išraiška turi būti lygi nuliui, taigi arba (x ) + 4 = 0, arba (x ) + 5 = 0.

Du lygties sprendimai yra ( boldsymbol {x} ) = −4 ir ( boldsymbol {x} ) = −5.

Kodėl yra du kvadratinės lygties sprendimai?

---

Nes grafikas yra parabolės pavidalo.

Žemiau pateikiamas aukščiau pateiktame pavyzdyje naudojamos lygties grafikas (y ) = (x )^du+ 9 (x ) + 20.

Dvi reikšmės (x ) yra žinomos kaip lygties šaknys. Tai yra (x ) reikšmės, kai (y ) = 0. Grafike x ašyje (y ) = 0. Todėl taškai (x ) = −4 ir (x ) = −5 yra ten, kur lygties kreivė kerta x ašį. Minimali (y ) reikšmė (žemiausias kreivės taškas) atsiranda tarp (x ) = −4 ir (x ) = −5. Šiame grafike galima tik pamatyti kreivę, pasineriančią žemiau x ašies.

Dar kartą pažvelgę ​​į lygtį, kai (x ) = 0, tada (y ) = 20. Grafike galime pamatyti, kad kreivė kerta y ašį ( (x ) = 0) ties + 20. Tai vadinama y-perėmimu ir visada yra (c ) reikšmė kvadratinėje lygtyje.

2. Formulės naudojimas

Jei šie du veiksniai nėra akivaizdūs, kitas žingsnis yra formulės naudojimas. Visos kvadratinės lygtys, kurias galima išspręsti, atsakys pagal formulę:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

Šiuo atveju (a ) yra koeficientas (x )^du, (b ) iš (x ) ir (c ) yra skaičius pabaigoje, kai lygtis yra formos (ax )^du+ (bx ) + (c ) = 0.

Bet kuri lygtis, kuri turitikterminai su (x )^du, (x ) ir skaičius galima paversti forma (ax )^du+ (bx ) + (c ) = 0, tada išspręskite naudodami formulę.

Kadangi kvadratinė šaknis gali būti (b ) pliusas arba minusas, kvadratinės lygtys visada turi du sprendimus, kaip parodyta aukščiau esančiame informacijos laukelyje. Jie vadinami lygties šaknimis, o to priežastis akivaizdesnė, kai žiūrime į formulę (( pm sqrt) ).

Svarbu prisiminti, kad kai kurios kvadratinės lygtys neturi „tikro“ atsakymo.

Pvz., Jei (b )^du& minus; 4 (ac ) yra neigiamas, tada nebus realaus atsakymo, nes jūs negalite turėti kvadratinės šaknies iš minuso skaičiaus, išskyrus įsivaizduojamo skaičiaus formą (daugiau apie įsivaizduojamus skaičius rasite mūsų puslapyjespecialūs skaičiai ir sąvokos).

3. Aikštės užbaigimas

Jei jūsų kvadratinės lygties negalima apskaičiuoti, tai formulės naudojimo alternatyva yra metodas, vadinamasužbaigdamas aikštę. Tai galbūt yra pats kebliausias būdas suprasti. Jums reikia pertvarkyti lygtį taip, kad ji taptųtobulas kvadratinis trinomas’(Trinomialas yra matematinė išraiška, turinti tris terminus).

Tai skamba labai komplikuotai, tačiau sakant, kad kalbant apie matematiką, reikia pasakyti, kad naudodamiesi šiuo metodu galite konvertuoti kvadratinę lygtį iš tos, kurios negalima dalyti į faktorių, ir sprendimą galite rasti apskaičiavę jo kvadratinė šaknis.

Šis metodas veikia tik (ax )^du+ (bx ) + (c ) = 0, kai (a ) = 1. Jei (b ) yra lyginis, tada dar geriau.

Norėdami išspręsti lygtį, turime įvesti kitą išraišką:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Šią išraišką galima išplėsti

$$ x ^ 2 + bx + kairė ( frac b2 dešinė) ^ 2 + c $$

Tai tas pats, kas pradinė kvadratinė lygtis, bet su papildomu terminu (( frac b2) ^ 2 )

Todėl pradinę lygtį galima perrašyti kaip naują išraišką, atėmus papildomą terminą:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - kairė ( frac b2 dešinė) ^ 2 + c = 0 $$

Pertvarkius šią naują lygtį, gaunama

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c kairė ( frac b2 dešinė) ^ 2 $$

Tai galima išspręsti imant kiekvienos pusės kvadratinę šaknį.

Sekantisdirbo pavyzdyspalengvina šį metodą:

Raskite ( boldsymbol {x} ) reikšmes, kai ( boldsymbol {x} )^du& minus; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Pirmiausia užpildykite kvadratą, prie kiekvienos pusės pridėdami (( frac b2) ^ 2 ).

Šiuo atveju šis papildomas terminas yra ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Tada jūs suskirstysite kairę pusę:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Tai tas pats kaip

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Galite pamatyti, kad naudojant šį metodą kairė pradinės lygties pusė buvo paversta atobulas kvadratinis trinomas. Tai galima išspręsti paėmus šaknis:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

---

Išvada

Perskaitę šį puslapį ir vadovaudamiesi pavyzdžiais, dabar turėtumėte labiau pasitikėti savo sugebėjimu tvarkyti net gana sudėtingas lygtis.

Tiesiog prisimink auksinę taisyklę:

Visada darykite tą patį dalyką kiekvienai lygties pusei

Jei tai padarysite, tada jums bus gerai.

---

Tęsti:
Paprasta statistinė analizė
Nustatyti teoriją